Общеобразовательные

Элементарная математика.   Сканави М.И.

2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с. 

Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.

( Книга включает в себя Ч1 - Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 - Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)

Первое издание книги вышло в 1967году, в начале работы над вторым изданием ушел из жизни сам Марк Иванович Сканави (1972г.) и работа была продолжена его соавторами. В списке авторов данного издания: Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. 

Формат: djvu / zip

Размер: 5,65 Мб

Скачать / Download файл    

Математика в решениях задач из сборника М.И. Сканави. Черняк А.А., Черняк Ж.А. (2001, 400с.) 

Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. Сканави М.И. (2012; 912с., 1232с.)

Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под ред. Сканави М.И. (2013, 608с.) 

Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. Под ред. Сканави М.И. (2012, 624с.)

Элементарная математика. Сканави М.И. (1974, 592с.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию.........................................................................      9

О пользовании книгой     ........................................................................................     11

Введение................................................................................................................... 13

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава I.   Действительные и комплексные числа    .................................. 18

§ 1.   Действительные числа.  Координаты .  .   .  .  ,........................... ,  .  ,  .  .    18

1. Натуральные числа (18). 2. Простые и составные числа. Признаки дели­
мости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дроби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6. Иррацио­
нальные числа. Действительные числа (31). 7. Действия с приближенными
числами (35). 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
Упражнения.................................................................................................... 45

§ 2.   Степени и корни ,........................................................... ,................................ 46

9. Степени с натуральными показателями (46).   10.   Степени   с  целыми пока­
зателями   (47).   11.    Корни   (48).   12.   Степени   с   рациональными   показате­
лями. Степени о действительными   показателями (51).   13.   Алгоритм извлече­
ния квадратного кория (52).
Упражнения..................................................................................................... 56

§ 3.   Комплексные числа     .................................................................................... 57

14. Основные понятия и определения (57). 15. Рациональные действия с
комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа (62). 17. Действия с
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула
Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
Упражнения..................................................................................................... 69

Глава   II.   Тождественные преобразования................................................ 70

§ 1.   Рациональные алгебраические выражения................................................... 70

19. Алгебраические   выражения. Одночлены  и  многочлены (70).    20. Форму­
лы    сокращенного   умножения   (74).   21.   Бииом   Ньютона (75).   22.   Разло­
жение многочлена  иа  множители (7 8).   23.  Дробные алгебраические выраже­
ния (79).
Упражнения.................................................................................................... 80

§ 2.   Иррациональные алгебраические выражения........................ ...................... 80

24.  Радикалы   нз   алгебраических  выражений   (80). 25. Освобождение от ир«

рациональности в знаменателе дроби (84).

Упражнения................................................................................................. ,   85

Глава   III. Логарифмы......................................................................................... 87

§ 1.   Логарифмы по произвольному основанию.................................................. 87

26. Определение   и  свойства   логарифмов (87).   27. Логарифмы по различным

основаниям. Модуль перехода (92).

Упражнения................................................................... ,............................... 94

§ 2.  Десятичные логарифмы................................................................................... 94

28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (94). 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (9 8).

Упражнения..................................................................................................... 100

Глава   IV.   Функции и графики........................................................................ 101

§ 1.   Общие сведения о функциях........................................................................... 101

30. Величина. Числовые множества (101). 31. Определение функции (102). 32. График функции.

Способы задания функций (104). 33. Элементарное ис­следование поведения функции (106). 34.

Сложная функция (109). 35. Об­ратная функция (109). 36. Функции нескольких переменных (112).

Упражнения.................................................................................................... 113

§ 2.   Элементарные функции.................................................................................. 113

37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115). 39. Квадратичная функция у=ах^г (118).

4 0. Степенная функция у—х^п (120). 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция

с рациональ­ным показателем степени (121). 42. Показательная функция (125). 43. Ло­гарифмическая функция (127).

Упражнения.................................................................................................... 127

§ 3.   Преобразование графиков............................................................................. 128

44. Параллельный сдвиг графика (128). 45. График квадратного трехчлена (130). 46. График дробио-лииейной

функции (133). 47. Преобразование сим­метрии. Сжатие н растяжение графика (134). 48. Построение графиков функ­ций

у=\ / (х) |. у-1 (| х |), у=\ / (| х\) |   (136).  49. Сложение графиков (140).

Упражнения.................................................................................................... 142

§ 4.   Некоторые сведения о рациональных функциях.......................................... 142

50.   Целые   и   дробные   рациональные   функции.   Деление   многочленов   (142).

51.   Схема Горнера. Теорема Безу (145). 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители (147).

Упражнения..................................................................................................... 150

Глава V. Уравнения     ........................................................................................ 151

§ 1.   Общие сведения об уравнениях..................................................................... 151

53. Уравнение. Корни уравнения (151). 54. Равносильные уравнения (152). 55. Системы   уравнений   (155).  

  56.   Графическое  решение уравнений (157).

Упражнения..................................................................................................... 158

§ 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной    ........................................ 158

57. Число и кратность корней (158). 58. Уравнения первой степени (линей­ные уравнения) (159).

59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения (160). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного

трехчлена на множители (164). 61. Исследование квадратного уравнения (165). 62. Уравнения выс­ших степеней.

Целые корни (167). 63. Двучленные уравнения (169). 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170). 65. Возвратные уравнения (172).

Упражнения..................................................................................................... 172

§ 3.   Системы алгебраических уравнений............................................................. 173

66. Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследова­ние линейных систем двух

 уравнений с двумя неизвестными (176). 68. Систе­мы, состоящие   из   уравнения    второй   степени и  линейного уравнения (183).

69.     Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений
высших степеней (186).

Упражнения..................................................................................................... 190

§ 4.   Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения ...  191

70.    Иррациональные уравнения (191). 71. Показательные уравнения (195).
72. Логарифмические уравнения (197). 73. Разные уравнения. Системы урав­
нений (199),

Упражнения   .  .  ,  .  ,..................................................................................... 201

Глава   VI.   Неравенства..................................................................................... 203

§ 1.   Числовые и алгебраические неравенства....................................................... 203

74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами (203).   75.   Алгебраиче­
ские неравенства (208).
Упражнения..................................................................................................... 210

§ 2.   Решение неравенств......................................................................................... 211

76.     Множество   решений    неравенства.     Равносильные    неравенства    (211).

77.    Графическое решение неравенств (212). 78. Линейные неравенства. Си­
стемы линейных неравенств (213). 79. Квадратные неравенства (217).
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие  дробные   рацио-

нальиые функции   от  х (219). 81. Иррациональные, показательные и логариф­
мические неравенства (222).   82.   Неравенства    с  двумя неизвестными  (225).
Упражнения..................................................................................................... 227

Глава   VII.   Последовательности...................................................................... 228

§ 1.   Предел последовательности   .........................................................................   228

83. Числовая последовательность (228).    84.   Предел числовой последователь­
ности   (230).   85.   Бесконечно  малые.    Правила предельного перехода (235).
§ 2.   Арифметическая прогрессия.......................................................................... 238

86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена (238). 87. Свойства арифметической прогрессии (239).

 88. Формула для вуммы п членов арифме­тической прогрессии (240).

Упражнения..................................................................................................... 241

§ 3.   Геометрическая прогрессия........................................................................... 242

89. Геометрическая   прогрессия.   Формула общего  члена   (242).   90. Свойства
геометрической   прогрессии   (244).    91. Формулы для суммы п членов геомет­
рической прогрессии (245).   92. Бесконечно   убывающая  геометрическая    про­
грессия (246).
Упражнения..................................................................................................... 248

Глава  VIII.   Тригонометрические функции угла (дуги)........................... 249

§ 1.   Векторы. Обобщение понятий угла и дуги................................................... 249

93. Вектор, проекция   вектора  (249).   94. Положительные углы и дуги, мень­
шие 360° (251).   95.   Углы   и   дуги, большие-360°   (251).   96   Отрицательные
углы. Сложение и вычитание углов (252).
Упражнения..................................................................................................... 254

§ 2.   Тригонометрические функции произвольного угла................................... 254

97. Определение основных тригонометрических функций (254). 98. Изменение
основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л (259).
Упражнения.................................................................................................... 264

§ 3.   Соотношения между тригонометрическими функциями одного   и  того

же угла............................................................................................................. 264

99. Основные тригонометрические тождества   (264).   100. Вычисление значений
тригонометрических функций   по   значению одной из них (266).  101. Значения
тригонометрических функций некоторых углов (267).
Упражнения..................................................................................................... 269

§ 4.   Четность, нечетность и   периодичность  тригонометрических  функций 270

102. Четность и нечетность (270). !03. Понятие периодической функции (271).   104. Периодичность

 тригонометрических функций (273).

Упражнения..................................................................................................... 276

§ 5.   Формулы приведения...................................................................................... 276

105. Зависимость   между   тригонометрическими   функциями   дополнительных

углов (276).  106. Формулы приведения (278).

Упражнения..................................................................................................... 283

Глава   IX. Тригонометрические функции числового аргумента и их  гра­
фики     .............................................................................................................. 284

§ 1.   Тригонометрические функции числового аргумента.................................. 284

107.   Определение   (284).    108.   Области   определения   и  области   изменения
значений   тригонометрических функций (285).   109. Некоторые  неравенства и
их следствия (285).
Упражнения..................................................................................................... 287

§ 2.   Графики тригонометрических функций........................................................ 287

ПО. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций (287).
111. Основные   графики   (288).  112. Примеры построения графиков некоторых
других   тригонометрических  функций   (293).   113.   Дальнейшие   примеры по­
строения графиков функций (29 5).
Упражнения..................................................................................................... 298

Глава   X.   Преобразование тригонометрических выражений     ............ 299

§ 1. Формулы сложения и вычитания     ................................................................ 299

114. Расстояние между двумя точками на плоскости (299).  115. Косинус суммы
и разности  двух   аргументов (300).   116. Сннус суммы и разности двух аргу­
ментов   (301).    117.   Тангенс    суммы   и    разности  двух    аргументов    (302).
118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
Упражнения....................................................................................................   303

ЧАСТЬ   ВТОРАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Глава   XIII. Основные понятия...................................................................... 379

§ 1.   Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела.................................................... 379

156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379). 157. Плоскость. Фигуры и тела (380). 158.

Угол (381). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382). 160. Равенство фигур. Движение (384). 

 161. Равенство тел (386).

§ 2.   Измерение геометрических величин.............................................................. 386

162. Сложение отрезков. Длина отрезка   (386).   163,.   Общая мера двух отрез- .
ков (389),  164. Сравнительная   длина   отрезков и ломаных (390).   165. Изме­
рение углов (391).  166.   Радиаииая мера   угла (393).    167.   Измерение площа­
дей (395).  168. Площадь   прямоугольника.   Объем прямоугольного параллеле­
пипеда (397).
Упражнения..................................................................................................... 399

Глава   XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые.   Задачи на по­
строение   ....................................................................................................... 400

§ 1.   Перпендикулярные и параллельные прямые............................................... 400

169. Перпендикуляр и наклонные (400). 170. Свойство перпендикуляра, про­веденного

  к отрезку в его   середине   (402).  171. Параллельные прямые (402).

172.  Углы,   образованные двумя параллельными   прямыми  и   секущей (404).

173.  Углы с параллельными или перпендикулярными  сторонами (405).

§ 2.   Геометрические места точек. Окружность.................................................... 407

174. Геометрическое место точек (407). 175. Свойство биссектрисы угла
(407). 176. Окружность (408). 177. Взаимное расположение прямой и ок­
ружности. Касательная и секущая (409). 178. Хорда н диаметр. Сектор и
сегмент; (411).   179. Взаимное расположение двух окружностей (412).

§ 3.   Основные задачи на построение..................................................................... 414

180. Линейка   и   циркуль (414).  181.   Деление  отрезка пополам.   Построение
перпендикуляров   (415).    182. Построение углов   (416).    183.   Другие  задачи
на построение (418).
Упражнения..................................................................................................... 419

Глава   XV. Треугольники, четырехугольники............................................ 420

§ 1.   Треугольники.................................................................................................. 420

184. Стороны и углы треугольника (421). 185. Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность (422). 186. Оси симметрии сторон треугольника. Опи­
санная окружность (423). 187. Медианы н высоты треугольника (425).
188. Равенство треугольников (425). 189. Построение треугольников (427).
190. Равнобедренные треугольники (430)." 191. Прямоугольные треугольники
(430).
Упражнения..................................................................................................... 432

§ 2.   Параллелограммы     ....................................................................................... 432

192.   Четырехугольники    (432).    193.   Параллелограмм и его свойства  (433).

194. Прямоугольник (434).  195. Ромб. Квадрат (435).

Упражнения...................................................................................................... 436

§ 3.   Трапеция     ...................................................................................................... 436

196. Трапеция (436).    197.   Средняя   линия треугольника   (439).    198.  Сред­
няя линия   трапеции (440).  199. Деление отрезка на равные части (441).
Упражнения..................................................................................................... 442

§ 4.   Площади треугольников и четырехугольников........................................... 442

200.   Площадь   параллелограмма    (442).    201.    Площадь треугольника (443).

202. Площадь трапеции (445).

Глава   XVI. Подобие геометрических фигур...............................................   446

§ 1.   Пропорциональные отрезки........................................................................... 446

203. Пропорциональные отрезки (446). 204. Свойства биссектрис внутреннего
и внешнего углов треугольника (4 49).

Упражнения.................................................................................................... 451

§ 2.   Подобное преобразование фигур   (гомотетия)............................................ 451

205. Определение гомотетичных фигур (451). 206. Свойства преобразования подобия (453).

§ 3.   Общее подобное соответствие фигур............................................................ 456

207. Подобные фигуры (456). 208. Периметры   и площади подобных треуголь­
ников (459). 209.   Применение подобия к решению задач на построение (460).
Упражнения..................................................................................................... 461

Глава   XVII. Метрические соотношения в треугольнике и круге ....  462

§ 1.   Углы и пропорциональные отрезки в круге................................................ 462

210. Углы с вершиной на окружности   (462).   211.    Углы с вершиной внутри
и вне круга    (463).    212.   Угол,    под   которым   виден данный   отрезок   (464).
213.   Четырехугольники,  вписанные в окружность (466). 21 4. Пропорциональ­
ные отрезки в круге (467). 215.  Задачи на построение (468).
Упражнения.................................................................................................... 470

§ 2.  Метрические соотношения в треугольнике.................................................. 470

216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пи­
фагора (470).   217.   Квадрат   стороны,   лежащей   против   острого   или тупого
угла в треугольнике.   Теорема   косинусов   (47 3).   218.  Теорема синусов. Фор­
мула Герона (476). 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478).
Упражнения..................................................................................................... 480

§ 3.   Решение треугольников.................................................................................. 481

220. Таблицы функций (481). 221. Решение треугольников.   Сводка   основных -    формул (487).

 222.  Решение   прямоугольных   треугольников (489).    223.    Ре­шение косоугольных треугольников (490).

Упражнения.................................................................................................... 498

Глава   XVIII.   Правильные многоугольники.    Длина  окружности и пло­
щадь круга     ..................................................................................................... 499

§ 1.   Правильные многоугольники........................................................................ 499

224. Выпуклые многоугольники (499). 225. Правильные многоугольники (501). 226. Соотношения

между стороной, радиусом и апофемой (502). 227. Периметр и площадь правильного л-угольника (503).

228. Удвоение чи­сла сторон правильного многоугольника (504).

Упражнения.................................................................................................... 507

§ 2.  Длина окружности. Площадь круга и его частей     ..................................... 507

229   Длина  окружности (507). 230. Площадь круга и его частей (510)

Упражнения...................... ,............................................................................. 513

Глава   XIX. Прямые и плоскости в пространстве....................................... 514

§ 1.   Взаимное расположение прямых и плоскостей............................................. 514

231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (514). 232. Взаим­ное расположение прямой

линии и плоскости (515). 233. Взаимное располо­жение двух плоскостей (518). 234. Свойства

 параллельных прямых и плоско­стей (518). 235. Построения в стереометрии (520).

§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей................................................... 521

236. Перпендикуляр к плоскости (521). 237. Перпендикуляр и наклонные (523). 238. Угол между

 прямой и плоскостью (524). 239. Связь между пер­пендикулярностью и параллельностью прямых

 и плоскостей (525). 240. Об­щий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).

Упражнения.................................................................................................... 528

§ 3. Двугранные и многогранные углы.................................................................. 528

241. Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529).   243.   Трехгранные

   углы (530). 244. Многогранные углы (534).

§ 4.   Многогранники............................................................................................... . 535

245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).

Упражнения..................................................................................................... 538

Глава   XX. Многогранники и круглые тела................................................ 539

§ 1.   Призма. Параллелепипед. Цилиндр.............................................................. 539

247. Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542). 249. Объемы призм и   цилиндров   (543).

250.   Площадь боковой поверхности призмы   (544).

251.    Площадь поверхности цилиндра (545).

Упражнения.................................................................................................... 547

§ 2.  Пирамида. Конус.............................................................................................. 547

252.    Свойства пирамиды и конуса (547). 253. Объем пирамиды и конуса
(551). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса
(554). 255. Усеченный конус и усеченная пирамида (556).

Упражнения   .  .  ...........................................................................................   559

§ 3.   Шаровая поверхность] Шар...........................................................................   559

256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара  и его частей   (562).

258. Площадь поверхности шара   и  ее частей (566).    259. Понятие телесного

угла (568).

Упражнения....................................................................................................   569

Ответы к упражнениям........................................................................................... . 570

Приложения     ........................................................................................................ . 581

Предметный указатель............................................................................................ . 583

О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."

Астрономия

Биология

География

Естествознание

Иностр. языки.

Информатика

Искусствоведение

История

Культурология

Литература

Математика:

Начальная школа

Средняя школа

Решение задач

ГИА (экзамен)

ЕГЭ (экзамен)

ГДЗ по математике

Высшая школа

Менеджмент

ОБЖ

Обществознание

Психология

Религиоведение

Русский язык

Физика

Философия 

Химия

Экология

Экономика

Юриспруденция

Школа - и др.

Студентам - и др.

Экзамены школа

Абитуриентам

Библиотеки 

Справочники

Рефераты

Прочее