Экзамен по алгебре 9 класс, демо-версия 2007, решения заданий.

Решения заданий демонстрационной версии

экзаменационной работы по алгебре 2007 г.

Часть 1

Задания с выбором ответа

Задание 1, часть 1.

Для каждого выражения из первого столбца укажите равное ему выражение из второго столбца, вписав соответствующую букву в клетку таблицы:

Задание 4, часть 1.

Укажите выражение, которое имеет смысл при любых значениях переменной m.

1)              2)              3)              4) 

//Ответ: 4

//Решение. Выражение  не содержит деления на переменную.

Задание 5, часть 1.

Автомобиль расходует a литров бензина на 100 км пути. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 км?

1)    л          2)    л         3)    л         4)    л

//Ответ: 1

//Решение: Обозначим искомую величину буквой х. Имеем пропорцию .

Другой способ: На 1 км пути расходуется  л бензина, значит, на 37 км расходуется   л бензина.

Задание 6, часть 1.

Расстояние от Венеры – одной из планет Солнечной системы, до Солнца равно 108 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

     1)  1,08∙10⁶ км     2)  1,08∙10⁷ км     3)  1,08∙10⁸ км     4)  1,08∙10⁹ км    

//Ответ: 3

//Решение: 108 млн. км =  км = км.

Задание 7, часть 1.

Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представили в виде  диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников?

1) 5 учащихся    2) 16 учащихся    3) 64 учащихся    4) 160 учащихся

//Ответ: 2

//Решение: (уч.).

Задание 8, часть 1.

На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что его длина равна 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь рулон при этом условии?

1)  10 м            2)  9,98 м            3)  10,04 м            4)  9,92 м

//Ответ: 4

//Решение: l – длина обоев в рулоне, ; 9,92 < 9,95.

Задание 9, часть 1.

Какое из уравнений имеет два различных корня?

1)   

2)   

3)   

4) 

//Ответ: 3

//Решение: 1)  2)  3) .

Задание 11, часть 1.

Из прямоугольного листа картона, размеры которого 56 см и 32 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы дно коробки имело площадь   640 см²?

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна х см. Какое уравнение соответствует  условию задачи?

    1)  (56 – х)(32 – х) = 640

2)  56∙(32 – 2х) = 640

3) (56 – 2х)(32 – 2х) = 640

4) 56∙32 – 4х² = 640

//Ответ: 2

//Решение: Если х см – длина стороны вырезаемого квадрата, то дно коробки имеет размеры   см и  см. Площадь дна равна  см². Имеем уравнение: .

Задание 13, часть 1.

О числах а и с известно, что а > c. Какое из следующих неравенств неверно?

1)  3а > 3c          2)  –2а > –2c      3)        4)  1 – а < 1 – с

//Ответ:2

//Решение:  Неравенство 3а > 3c - верно,  неравенство –2а > –2c – неверно, так как если а > c, то –2а < –2c.

Задание 14, часть 1.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)  1; 2; 3; 5 ...     2)  1; 2; 4; 8 ...       3)  1; 3; 5; 7  ...     4)  ...

//Ответ:3

//Решение: В случае В имеем .

Задание 15, часть 1.

На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

1) у =     2) у =    3) у =    4) у =

//Ответ:3

//Решение. Возможны различные способы рассуждения. Например, следующий.

Так как ветви параболы направлены вверх, то она является графиком одной из двух функций – А или В. Графики обеих функций пересекают ось у в точке (0;–3), поэтому надо найти другой способ распознавания. Найдем нули функций. В случае А нулями функции являются числа –3 и 1, в случае В – числа 3 и –1. Следовательно, на рисунке изображен график функции у = .

Выбрать из этих двух формул можно также непосредственной подстановкой в формулу абсцисс каких-либо точек графика, например, точек пересечения с осью х.

Задание 16, часть 1.

           Рейсовый автобус проделал путь из города А в город В и после стоянки вернулся обратно. На рисунке изображен график его движения: по горизонтальной оси отложено время (в часах), а по вертикальной – расстояние по шоссе (в километрах), на котором находится автобус от города А. Какое из следующих утверждений неверно? 

1) Расстояние между городами А и В по шоссе равно 180 км.

2) Скорость автобуса на пути из А в В была меньше, чем на обратном пути.

3) Стоянка в городе В длилась 2 ч.

4) На обратный путь автобус затратил на 1 ч больше, чем на путь из А в В.

//Ответ: 2

//Решение: км/ч; км/ч;

но 60 км/ч >  45 км/ч.

Задания с кратким ответом.

Задание 2, часть 1

Упростите выражение .

Ответ: __________________

//Ответ: . Варианты ответа: ; .

//Решение: .

Задание 3, часть 1

Упростите выражение .

Ответ:____________________

//Ответ: . Варианты ответа: 0,5.

//Решение: .

Задание 10, часть 1

Решите систему уравнений .

Ответ: __________________

//Ответ: (3;1). Варианты ответа: ;

//Решение:

у = 1; х = 4у – 1 = 3.

Задание 12, часть 1

Решите неравенство х – 1 ≤ 3х + 2.

Ответ: _____________________

//Ответ: x ≥ –1,5. Варианты ответов: [–1,5; +∞); х  [–1,5; +∞).

//Решение: .

Часть 2

Задания с развернутым ответом.

Эти задания направлены на проверку овладения материалом курса на повышенных уровнях. Они выполняются на отдельном листе с записью хода решения. Условия заданий не переписываются, рисунки не перечерчиваются.

Требования к выполнению заданий повышенного уровня заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются), из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Никаких  специальных требований к подробности пояснений,  оформлению решения не выдвигается.

Общие критерии оценки заданий второй части экзаменационной работы таковы. За полное и правильное выполнение задания учащемуся засчитывается балл, указанный в тексте работы для этого задания. Если в решении допущена ошибка или описка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. Другие случаи критериями не предусматриваются. Это объясняется  трактовкой качественных свойств,  на измерение которых направлена вторая часть работы: умение выполнять задания комплексного характера, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры.  Эти качества проявляются, только если учащийся обнаруживает  умение решить задачу предложенного уровня и содержания.

В описании критериев оценки выполнения конкретных заданий содержатся примеры ошибок/описок, позволяющих засчитать балл, на 1 меньший указанного. Эти примеры, однако, не исчерпывают всех возможных ошибок такого рода. При проверке работ предметной комиссии придется в ряде случаев принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося.  

Задание 1, часть 2

Постройте график функции . При каких значениях аргумента выполняется неравенство ?

//Ответ: график изображен на рисунке. Неравенство  выполняется при .

Другие возможные решения.

График может быть построен по каким-либо другим точкам.

Ответ на вопрос может быть получен решением двойного неравенства : , , .  (Двойное неравенство может быть заменено системой двух линейных неравенств).

Комментарий.

При правильно построенном графике отсутствие ссылки на то, что график – прямая, или указания на рисунке координат точек графика не должны служить основанием для снижения выставляемого балла.

Задание 2, часть 2

Упростите выражение .

//Ответ: 4.

//Решение.

1) Корни квадратного трехчлена m² + m – 2: m₁ = –2, m₂ = 1. Значит, m² + m – 2 = (m + 2)(m – 1).  = .

2) .

Другие возможные решения.

Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение и далее используется распределительное свойство:

 = .

В ходе упрощения не использована возможность упрощения дроби :

  =  .

Кроме того, что не сокращена дробь , может быть не использована также возможность вынесения за скобки множителя m + 2 при преобразовании числителя.

Комментарий.

Нерациональное решение при верно выполненных преобразованиях не может служить основанием для снижения балла.

Задание 3, часть 2

Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b₂ = –6, b₅ = 48 и b₇ = 192?

//Ответ: существует.

//Решение.

Если в геометрической прогрессии b₂ = –6 и b₅ = 48, то  и q = –2. При этом условии b₇ = b₅∙ q² = 48∙4 = 192, т.е. такая прогрессия существует.

Другое возможное решение.

Из системы уравнений  находим, что b₁ = 3, q = –2. Далее: b₇ = b₁∙ q⁶ = 3∙(–2)⁶ = 192.

Возможны также некоторые вариации первого и второго способов. Например, для первого способа нахождение q из условий b₅ = 48 и  b₇ = 192 и затем проверка условия b₂ = –6.

Задание 4, часть 2.

При каких положительных значениях к прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х² + 2х – 3 в двух точках?

//Ответ: при к > 6.

//Решение.

Если прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х² + 2х – 3 в двух точках, то уравнение kх – 7 = х² + 2х – 3 имеет два корня. После преобразований получим уравнение х² + (2 – k)х + 4 = 0. Выясним, при каких k выполняется неравенство D > 0:

D = (2 – k)² – 16 = k² – 4k – 12; k₁ = –2, k₂ = 6. Значит, D > 0 при k < –2 и k > 6.

Учитывая условие k > 0, находим, что k > 6.

Комментарий.

Ошибки при составлении дискриминанта квадратного уравнения, при решении квадратного неравенства (с учетом найденных корней) относятся к числу существенных. При их наличии решение не может быть засчитано.

Задание 5, часть 2

Автомобиль едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость автомобиля при движении  с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих направлениях).

//Ответ: в 6 раз.

//Решение.

Пусть х км/мин – скорость автомобиля при движении с горы, а        у км/мин – при движении в гору. Тогда на пути туда он едет 2х км с горы и 6у км в гору. Двигаясь в обратном направлении, на путь с горы он тратит  мин, а на путь в гору  мин. Получаем уравнение: .

Введем замену . Имеем , т.е. .

Корни уравнения: t₁ = 6; t₂ = ; t₂ не подходит по смыслу, т.к. . Значит, .

Другое возможное решение.

При решении уравнения  использована другая замена: . В этом случае далее решается уравнение , корни которого t₁ = 2; t₂ = ; t₁ не подходит по смыслу, т.к. . Значит, , т.е. х в 6 раз больше у.