Правообладателям

Математика. Задачи с ответами и решениями. Пособие для поступающих в вузы. Сергеев И.Н.

2-е изд., доп. - М.: КДУ, 2004.— 360 с.

Пособие представляет собой сборник задач по школьному курсу математики (включая алгебру, геометрию и начала анализа) и предназначено для подготовки к вступительному экзамену по математике в любой вуз. Специальный порядок задач, разработанный опытным преподавателем, обеспечивает максимальный обучающий эффект. При последовательном изучении материала знания абитуриента развиваются по спирали: пройдя очередной ее виток, он оказывается подготовленным по всем разделам математики на существенно более высоком уровне, чем раньше.

Содержатся варианты письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова, проводившихся в 2002-2003 гг., а также программа по математике для поступающих в МГУ.

Для старшеклассников и учителей, абитуриентов и репетиторов.

Формат: djvu / zip

Размер: 3,7 Мб

Скачать / Download файл

Оглавление
Введение 11
1. Уникальность настоящего сборника 11
2. Структура книги 12
3. Несколько слов о фундаментальных задачах... 13
4. Краткое описание генеральных методов 14
5. Условные обозначения 15
6. Как пользоваться задачником 17
Часть I. Фундаментальные задачи
Глава 1. Первичные понятия, факты и приемы
1. Элементарные сведения 18
1.1. Задачи на вычисление значений 18
1.2. Модуль и знак числа, допустимые значения... 19
1.3. Отбрасывание оснований степени 21
1.4. Понятие логарифма 21
2. Тригонометрия 22
2.1. Вычисление тригонометрических выражений ... 23
2.2. Простейшие уравнения 24
2.3. Формулы двойного и половинного угла 25
2.4. Формулы тригонометрии 25
2.5. Отбрасывание тригонометрических функций 27
2.6. Введение вспомогательного угла 27
3. Логарифмы 28
3.1. Вычисление логарифмов 29
3.2. Отбрасывание логарифмов 29
3.3. Особенности применения формул 30
3.4. Случаи переменного основания 31
4. Системы и текстовые задачи 32
4.1. Системы 32
4.2. Прогрессии 34
4.3. Пропорции, доли, проценты и концентрации.. 36
4.4. Движение и работа 39
5. Геометрия 42
5.1. Простейшие задачи 42
5.2. Применение тригонометрии 46
5.3. Касательные, секущие и хорды 49
5.4. Дуги окружности и углы 52
5.5. Медианы, высоты и биссектрисы 56
5.6. Стереометрия 59
5.7. Координаты и векторы 63
Глава 2. Квадратные уравнения и неравенства
6. Квадратный трехчлен 66
6.1. Дискриминант и формула корней 66
6.2. Разложение на линейные множители 67
6.3. Теорема Виета и обратная к ней 68
7. Уравнения и неравенства, квадратные относительно различных выражений 69
7.1. Биквадратные уравнения и неравенства 70
7.2. Уравнения и неравенства, квадратные относительно ах 70
7.3. Уравнения и неравенства, квадратные относительно loga x 71
7.4. Уравнения, квадратные относительно sin x или cos а; 72
8. Дополнительные соображения 73
8.1. Учет области допустимых значений 73
8.2. Комбинации различных функций 75
8.3. Оптимальный выбор новой переменной 76
8.4. Роль грубых оценок 77
8.5. Учет области значений выражения 78
9. Простейшие приложения 79
9.1. Системы, сводящиеся к квадратным уравнениям 79
9.2. Квадратные уравнения и неравенства в текстовых задачах 81
9.3. Использование квадратных уравнений в геометрии 84
Часть II. Генеральные методы решения задач
Глава 3. Метод перебора
10. Расщепление уравнений и неравенств 87
10.1. Расщепление уравнений 87
10.2. Метод интервалов 88
10.3. Расщепление неравенств 90
10.4. Разные задачи, связанные с расщеплением 91
11. Перебор случаев 93
11.1. Раскрытие модулей и метод интервалов 93
11.2. Исследование основания логарифма или степени 96
11.3. Зависимость от параметра 97
11.4. Перебор вариантов в текстовых задачах 98
11.5. Целочисленный перебор 101
12. Развитие метода интервалов 104
12.1. Обобщенный метод интервалов 104
12.2. Метод областей 106
13. Разложение на множители 109
13.1. Разложение с помощью формул тригонометрии... 109
13.2. Дублирование корней в ответе ПО
13.3. Использование однородности 111 •
13.4. Разные методы разложения на множители 112
13.5. Уравнения третьей и четвертой степени 113
14. Возведение уравнений и неравенств в квадрат 115
14.1. Иррациональные уравнения 115
14.2. Иррациональные неравенства 116
14.3. Разные задачи на возведение в степень 117
15. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы 120
15.1. Выбор корней из данного промежутка 120
15.2. Учет тригонометрических неравенств 122
15.3. Трудности при отборе корней 124
16. Перебор случаев в геометрии 126
16.1. Обоснование геометрической конфигурации ... 126
16.2. Перебор вариантов расположения 129
16.3. Неоднозначность в ответе 132
Глава 4. Метод равносильных преобразований
17. Сравнение чисел и выражений 135
17.1. Задачи на сравнение 135
17.2. Сравнение чисел в процессе решения 136
17.3. Оценки в геометрии 138
17.4. Цепочки неравенств 140
18. Некоторые особенности преобразований 142
18.1. Изменение области допустимых значений 142
18.2. Случаи неодинаковых оснований 144
18.3. Специальные действия с радикалами 145
19. Различные системы и совокупности 146
19.1. Метод подстановки 147
19.2. Метод сложения 148
19.3. Системы в текстовых задачах 149
19.4. Необычные равносильные преобразования 151
19.5. Разные способы избавления от модулей 152
20. Область значений и экстремумы функций 154
20.1. Исследование функций без производной 154
20.2. Условные экстремумы 156
20.3. Исследование области значений в процессе решения 157
20.4. Экстремальные ситуации в уравнениях и неравенствах 159
20.5. Исследование величин в текстовых задачах 162
21. Геометрические вопросы 165
21.1. Сравнение площадей и объемов 165
21.2. Исследование геометрических величин и параметров : 170
21.3. Геометрические преобразования 173
Глава 5. Метод обозначений
22. Замена переменных 177
22.1. Избавление от радикалов с помощью обозначений 177
22.2. Выявление устойчивых выражений 178
22.3. Тригонометрические замены и подстановки... 181
22.4. Учет делимости посредством подстановки 182
22.5. Обозначения и переобозначения в текстовых задачах 183
23. Переменные, параметры, функции 186
23.1. Привлечение функций 186
23.2. Изменение роли букв, входящих в условие 187
23.3. Введение дополнительных переменных 189
24. Переменные в геометрии 191
24.1. Обозначения для длин и углов 191
24.2. Метод координат 193
24.3. Задачи с возможным участием векторов 195
25. Графические иллюстрации 197
25.1. Числовая прямая 197
25.2. Исследование графиков 199
25.3. Упрощение выкладок с помощью свойств параболы 201
25.4. Числовая окружность 203
26. Зависимость графиков от параметра 205
26.1. Сечения графиков 205
26.2. Взаимное расположение графиков 208
26.3. Использование параметра в качестве одной из координат 209
26.4. Задачи на расположение парабол 211
27. Привлечение геометрии 215
27.1. Геометрический смысл модуля 215
27.2. Эффект от геометрической интерпретации ... 216
27.3. Применение геометрии в текстовых задачах... 218
28. Дополнительные построения в геометрии 220
28.1. Стандартные построения 220
28.2. Сравнение площадей и объемов частей фигуры 223
28.3. Разные задачи, использующие дополнительные построения 226
Глава 6. Метод следствий
29. Основные типы следствий 230
29.1. Следствие, заложенное в постановке задачи... 230
29.2. Метод проверки 232
29.3. Метод подбора 234
30. Получение и применение оценок 236
30.1. Выводы на области допустимых значений 236
30.2. Разные задачи, использующие оценки 237
30.3. Оценки в текстовых задачах 240
31. Специфика геометрии 241
31.1. Получение различных следствий 241
31.2. Угадывание особенностей конфигурации 246
31.3. Метод подбора в геометрии 250
32. Элементы логики 253
32.1. Приведение к противоречию 253
32.2. Переход от общего к частному 255
32.3. Следствия, связанные с количеством решений ... 257
32.4. Различные логические связи между утверждениями 260
33. Задачи с целыми числами 261
33.1. Оценки целочисленных переменных 261
33.2. Использование делимости 264
33.3. Экстремальные-целочисленные задачи 266
34. Проекции и сечения 267
34.1. Проектирование на прямую 268
34.2. Проектирование на плоскость 269
34.3. Сечение фигур плоскостями 273
Приложение А. Программа по математике
I. Основные понятия 279
II. Содержание теоретической части устного экзамена 280
III. Требования к поступающему 282
Приложение Б. Дополнительные разделы
Б.1. Элементы комбинаторики 284
Б.2. Задачи, использующие предел 284
Б.3. Производная 284
Б.4. Исследование функций с помощью производной 285
Б.5. Касательная 287
Б.б. Интеграл 288
Б.7. Нахождение площадей с помощью интеграла.. 288
Б.8. Разные задачи на применение производной и интеграла 289
Приложение В. Варианты заданий 2002 г.
Приложение Г. Варианты заданий 2003 г.
Ответы 325