Правообладателям

Задачи по планиметрии. Прасолов В.В.

5-е изд., испр.и доп.—М.: 2006.— 640 с.

Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.

Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.

Формат: pdf

Размер: 4,3 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 10

Глава 1. Подобные треугольники 11

§ 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12). § 2. От-

ношение сторон подобных треугольников (13). § 3. Отношение площадей

подобных треугольников (15). § 4. Вспомогательные равные треуголь-

ники (16). § 5. Треугольник, образованный основаниями высот (17).

§ 6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Вписанный угол 30

§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31). § 2. Величина угла меж-

ду двумя хордами (32). § 3. Угол между касательной и хордой (33).

§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34). § 5. Четы-

ре точки, лежащие на одной окружности (35). § 6. Вписанный угол

и подобные треугольники (36). § 7. Биссектриса делит дугу попо-

лам (37). § 8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диа-

гоналями (38). § 9. Три описанные окружности пересекаются в одной

точке (39). § 10. Точка Микеля (40). § 11. Разные задачи (40). Задачи

для самостоятельного решения (41).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Глава 3. Окружности 55

§ 1. Касательные к окружностям (56). § 2. Произведение длин отрезков

хорд (57). § 3. Касающиеся окружности (58). § 4. Три окружности одно-

го радиуса (59). § 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59).

§ 6. Применение теоремы о высотах треугольника (60). § 7. Площади

криволинейных фигур (61). § 8. Окружности, вписанные в сегмент (61).

§ 9. Разные задачи (62). § 10. Радикальная ось (63). § 11. Пучки окруж-

ностей (65). Задачи для самостоятельного решения (66).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 4. Площадь 81

§ 1. Медиана делит площадь пополам (81). § 2. Вычисление площа-

дей (82). § 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь-

ник (83). § 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83).

§ 5. Разные задачи (84). § 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на

равновеликие части (85). § 7. Формулы для площади четырёхугольни-

ка (86). § 8. Вспомогательная площадь (87). § 9. Перегруппировка пло-

щадей (88). Задачи для самостоятельного решения (89).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Глава 5. Треугольники 101

§ 1. Вписанная и описанная окружности (102). § 2. Прямоугольные тре-

угольники (103). § 3. Правильный треугольник (104). § 4. Треугольник

с углом 60 или 120 (105). § 5. Целочисленные треугольники (106).

§ 6. Разные задачи (106). § 7. Теорема Менелая (109). § 8. Теорема Че-

вы (111). § 9. Прямая Симсона (113). § 10. Подерный треугольник (115).

§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116). § 12. Точки Бро-

кара (117). § 13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного

решения (121).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Глава 6. Многоугольники 151

§ 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). § 2. Четырёх-

угольники (154). § 3. Теорема Птолемея (155). § 4. Пятиугольники (156).

§ 5. Шестиугольники (157). § 6. Правильные многоугольники (157).

§ 7. Вписанные и описанные многоугольники (160). § 8. Произвольные

выпуклые многоугольники (161). § 9. Теорема Паскаля (161). Задачи

для самостоятельного решения (162).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Глава 7. Геометрические места точек 183

§ 1. ГМТ — прямая или отрезок (183). § 2. ГМТ — окружность или

дуга окружности (184). § 3. Вписанный угол (185). § 4. Вспомогатель-

ные равные или подобные треугольники (186). § 5. Гомотетия (186).

§ 6. Метод ГМТ (186). § 7. ГМТ с ненулевой площадью (187). § 8. Теоре-

ма Карно (187). § 9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для

самостоятельного решения (188).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Глава 8. Построения 197

§ 1. Метод геометрических мест точек (197). § 2. Вписанный угол (198).

§ 3. Подобные треугольники и гомотетия (198). § 4. Построение тре-

угольников по различным элементам (198). § 5. Построение треуголь-

ников по различным точкам (199). § 6. Треугольник (199). § 7. Четы-

рёхугольники (200). § 8. Окружности (201). § 9. Окружность Аполло-

ния (201). § 10. Разные задачи (202). § 11. Необычные построения (202).

§ 12. Построения одной линейкой (202). § 13. Построения с помощью

двусторонней линейки (203). § 14. Построения с помощью прямого уг-

ла (204). Задачи для самостоятельного решения (205).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Глава 9. Геометрические неравенства 221

§ 1. Медиана треугольника (222). § 2. Алгебраические задачи на нера-

венство треугольника (222). § 3. Сумма длин диагоналей четырёхуголь-

ника (223). § 4. Разные задачи на неравенство треугольника (223).

§ 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух

сторон (224). § 6. Неравенства для площадей (224). § 7. Площадь. Одна

фигура лежит внутри другой (226). § 8. Ломаные внутри квадрата (227).

§ 9. Четырёхугольник (227). § 10. Многоугольники (228). § 11. Разные

задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230).

Приложение. Некоторые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253

§ 1. Медианы (253). § 2. Высоты (253). § 3. Биссектрисы (254). § 4. Дли-

ны сторон (254). § 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных

окружностей (254). § 6. Симметричные неравенства для углов треуголь-

ника (255). § 7. Неравенства для углов треугольника (255). § 8. Нера-

венства для площади треугольника (256). § 9. Против большей стороны

лежит больший угол (256). § 10. Отрезок внутри треугольника мень-

ше наибольшей стороны (257). § 11. Неравенства для прямоугольных

треугольников (257). § 12. Неравенства для остроугольных треугольни-

ков (258). § 13. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самосто-

ятельного решения (259).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273

§ 1. Треугольник (273). § 2. Экстремальные точки треугольника (274).

§ 3. Угол (275). § 4. Четырёхугольники (276). § 5. Многоугольники (276).

§ 6. Разные задачи (277). § 7. Экстремальные свойства правильных мно-

гоугольников (277). Задачи для самостоятельного решения (278).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289

§ 1. Теорема синусов (289). § 2. Теорема косинусов (290). § 3. Вписан-

ная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291). § 4. Дли-

ны сторон, высоты, биссектрисы (291). § 5. Синусы и косинусы уг-

лов треугольника (292). § 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольни-

ка (292). § 7. Вычисление углов (293). § 8. Окружности (294). § 9. Раз-

ные задачи (295). § 10. Метод координат (295). Задачи для самостоя-

тельного решения (296).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Глава 13. Векторы 308

§ 1. Векторы сторон многоугольников (309). § 2. Скалярное произве-

дение. Соотношения (310). § 3. Неравенства (310). § 4. Суммы векто-

ров (311). § 5. Вспомогательные проекции (312). § 6. Метод усредне-

ния (312). § 7. Псевдоскалярное произведение (313). Задачи для само-

стоятельного решения (314).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Глава 14. Центр масс 325

§ 1. Основные свойства центра масс (325). § 2. Теорема о группировке

масс (326). § 3. Момент инерции (327). § 4. Разные задачи (328). § 5. Ба-

рицентрические координаты (328). § 6. Трилинейные координаты (331).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Глава 15. Параллельный перенос 345

§ 1. Перенос помогает решить задачу (345). § 2. Построения и геометри-

ческие места точек (346). Задачи для самостоятельного решения (347).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Глава 16. Центральная симметрия 353

§ 1. Симметрия помогает решить задачу (354). § 2. Свойства симмет-

рии (354). § 3. Симметрия в задачах на построение (355). Задачи для

самостоятельного решения (356).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Глава 17. Осевая симметрия 361

§ 1. Симметрия помогает решить задачу (361). § 2. Построения (362).

§ 3. Неравенства и экстремумы (363). § 4. Композиции симметрий (363).

§ 5. Свойства симметрий и осей симметрии (364). § 6. Теорема Ша-

ля (364). Задачи для самостоятельного решения (365).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Глава 18. Поворот 373

§1. Поворот на 90^◦ (374). §2. Поворот на 60^◦ (374). §3. Повороты на
произвольные углы (376). §4. Композиции поворотов (377). Задачи для
самостоятельного решения (378).
Решения ................................................................... 379

Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 388

§1. Гомотетичные многоугольники (389). §2. Гомотетичные окруж
ности (389). §3. Построения и геометрические места точек (390).
§4. Композиции гомотетий (391). §5. Поворотная гомотетия (391).
§6. Центр поворотной гомотетии (393). §7. Композиции поворотных го
мотетий (394). §8. Окружность подобия трёх фигур (394). Задачи для
самостоятельного решения (396).
Решения .................................................................... 396

Глава 20. Принцип крайнего 407

§1. Наименьший или наибольший угол (407). §2. Наименьшее или

наибольшее расстояние (408). §3. Наименьшая или наибольшая пло-

щадь (408). §4. Наибольший треугольник (409). §5. Выпуклая оболочка

и опорные прямые (409). §6. Разные задачи (410).

Решения ...................................................................... 411

Глава 21. Принцип Дирихле 419

§1. Конечное число точек, прямых и т.д. (419). §2. Углы и дли
ны (420). §3. Площадь (421).
Решения ...................................................................... 422

Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники 430

§1. Выпуклые многоугольники (430). §2. Изопериметрическое неравен
ство (431). §3. Симметризация по Штейнеру (432). §4. Сумма Минков-
ского (433). §5. Теорема Хелли (433). §6. Невыпуклые многоугольни
ки (434).
Решения ....................................................................... 435

Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски 453

§1. Чёт и нечёт (453). §2. Делимость (454). §3. Инварианты (454).
§4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке (455). §5. Другие
вспомогательные раскраски (456). §6. Задачи о раскрасках (457).
Решения ....................................................................... 458

Глава 24. Целочисленные решётки 469

§1. Многоугольники с вершинами в узлах решётки (469). §2. Формула
Пика (469). §3. Разные задачи (470). §4. Вокруг теоремы Минковско-
го (470).
Решения ....................................................................... 471

Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 479

§1. Равносоставленные фигуры (479). §2. Разрезания на части, облада
ющие специальными свойствами (480). §3. Свойства частей, получен
ных при разрезаниях (480). §4. Разрезания на параллелограммы (481).
§5. Плоскость, разрезанная прямыми (481). §6. Разные задачи на
разрезания (482). §7. Разбиение фигур на отрезки (483). §8. Покры
тия (483). §9. Замощения костями домино и плитками (484). §10. Рас
положение фигур на плоскости (485).
Решения ....................................................................... 485

Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры 506

§1. Системы точек (506). §2. Системы отрезков, прямых и окружно
стей (507). §3. Примеры и контрпримеры (507).
Решения ........................................................................ 508

Глава 27. Индукцияикомбинаторика 513

§1. Индукция (513). §2. Комбинаторика (514).

Решения ......................................................................... 514

Глава 28. Инверсия 517

§1. Свойства    инверсии    (518).    §2. Построение    окружностей    (518).
§3. Построения   одним   циркулем (519).   §4. Сделаем инверсию   (520).
§5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие
через одну точку (521). §6. Цепочки окружностей (523).
Решения ........................................................................     524

Глава 29. Аффинные преобразования 535

§1. Аффинные преобразования (535). §2. Решение задач при помощи
аффинных преобразований (537). §3. Комплексные числа (538). §4. Эл
липсы Штейнера (542).
Решения ........................................................................ 542

Глава 30. Проективные преобразования 559

§1. Проективные преобразования прямой (559). §2. Проективные пре
образования плоскости (561). §3. Переведём данную прямую на беско
нечность (564). §4. Применение проективных преобразований, сохраня
ющих окружность (565). §5. Применение проективных преобразований
прямой в задачах на доказательство (567). §6. Применение проектив
ных преобразований прямой в задачах на построение (567). §7. Невоз
можность построений при помощи одной линейки (568).
Решения ........................................................................ 568

Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола 583

§1. Классификация кривых второго порядка (583). §2. Эллипс (584).
§3. Парабола (586). §4. Гипербола (587). §5. Пучки коник (589).
§6. Коники как геометрические места точек (590). §7. Рациональная
параметризация (591). §8. Коники, связанные с треугольником (591).
Решения ........................................................................ 593

Дополнение 611

Предметный указатель 625

Программы элективных курсов по геометрии 632

Примечание: Случайно прочитал на форуме Заочной физико-технической школы при МФТИ такое мнение:

"Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Книга великая во всех отношениях. Если вам встретилась задача по планиметрии, то идея решения tnm в Прасолове с вероятностью 99,99999999999%. Короче там есть ВСЕ!!! И эта книга великая именно потому, что она построена во-первых, на изумительной классификации задач, а во-вторых, она вся (за небольшими исключениями) состоит из задач на доказательство. Это огромный плюс, поскольку такие задачи на порядок сложнее, чем задачи на вычисление. Однако это и ее минус, поскольку при поступлении вам будут встречаться ТОЛЬКО задачи на вычисление и овладение методами решения ИМЕННО ТАКИХ задач - для вас задача (простите за каламбур) первой значимости. Так что заниматься по Прасолову - вы уже опоздали: по нему надо ставить мозги с самого начала с 7 класса. Правда если вы прорешаете все задачи, ну или хотя бы 75% задач из первых 13 глав (остальное -это олимпиада) и при этом вас не заберут в психушку, то вам прямая дорога на Мехмат, куда вы поступите совершенно не напрягаясь."

О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."