Правообладателям

Математика и правдоподобные рассуждения. Джордж Пойа

Пер. с англ. - 2-е изд.испр. — М.: Глав. ред. физ-мат. лит., 1975. — 464с.

Книга в 2-х томах.

Т. 1-Индукция и аналогия в математике

Т. 2-Схемы правдоподобных умозаключений

Данная книга обращена прежде всего к тем, кто изучает математику, - начиная от учащихся старших классов и студентов и кончая специалистами в различных областях, которым приходится встречаться с применением математических методов исследования. Читатель узнает, какими путями добываются новые факты в математике, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе - одним словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества. Автор особенно подчеркивает общность путей открытия истин для всех естественных наук.

Увлекательность изложения, обилие исторических иллюстраций, а также предпринятая автором попытка построения теории правдоподобных (индуктивных) умозаключений делают книгу интересной как для профессионала-математика, так и для студентов вузов.

Формат: djvu / zip

Размер: 2,9 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 9
Предисловие 14
Советы читателю 21

Том I
ИНДУКЦИЯ И АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Глава I. Индукция 25
1. Опыт и представление 25
2. Наводящие контакты 26
3. Подкрепляющие контакты 28
4. Индуктивный подход 30
Примеры и примечания к главе I 31
[12. Да и нет. 13. Опыт и поведение. 14. Логик, математик, физик и инженер.]
Глава II. Обобщение, специализация, аналогия 34
1. Обобщение, специализация, аналогия и индукция .... 34
2. Обобщение 34
3. Специализация 35
4. Аналогия 35
5. Обобщение, специализация и аналогия 37
6. Открытые по аналогии 39
7. Аналогия и индукция 43
Примеры и примечания к главе II 45
Первая часть 45
[1. Правильное обобщение. 5. Крайний частный случай. 7. Ведущий частный случай. 10. Частный случай-представитель. 11. Аналогичный случай. 18. Великие аналогии. 19. Выясненные аналогии. 20. Цитаты.]
Вторая часть 51
[21. Предположение Э. 44. Возражение и первый шаг к доказательству. 45. Второй шаг к доказательству. 46. Опасности аналогии.]
Глава III. Индукция в пространственной геометрии 56
1. Многогранники 56
2. Первые подкрепляющие контакты 58
3. Еще подкрепляющие контакты 59
4. Суровое испытание 60
5. Подтверждения н подтверждения 62
6. Совсем не похожий случай 63
7. Аналогия 63
8. Разбиение пространства 65
9. Видоизменение задачи 66
10. Обобщение, специализация, аналогия 66
11. Одна аналогичная задача 67
12. Серия аналогичных задач 68
13. Много задач иногда легче решить, чем только одну . . 69
14. Предположение 69
15. Предсказание и подтверждение 70
16. Снова и лучше 71
17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство 72
18. Еще предположения 73
Примеры и примечания к главе III 74
[21. Индукция: приспособление ума, приспособление языка. 31. Рабо¬та Декарта о многогранниках. 36. Дополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники.]
Глава IV. Индукция в теории чисел 80
1. Целочисленные прямоугольные треугольники 80
2. Суммы квадратов 83
3. О сумме четырех нечетных квадратов 84
4. Исследование примера 85
5. Составление таблицы наблюдений 86
6 Каково правило? 86
7. Природа индуктивного открытия 89
8. О природе индуктивных доводов 90
Примеры и примечания к главе IV 92
[1. Обозначения. 26. Опасности индукции.]
Глава V. Разные примеры индукции 97
1. Разложения 97
2. Приближения 99
3. Пределы 101
4. Попытка опровергнуть 101
5. Попытка доказать 103
6. Роль индуктивной фазы 105
Примеры и примечания к главе V 106
[15. Объясните наблюдаемые закономерности. 16. Классифицируйте наблюдаемые факты. 18. В чем различие?]
Глава VI. Одно более общее утверждение 111
1. Эйлер 111
2. Мемуар Эйлера 111
3. Переход к более общей точке зрения 120
4. Схематический очерк мемуара Эйлера 121
Примеры и примечания к главе VI 122
[1. Производящие функции. 7. Одна комбинаторная задача плоской геометрии. 10. Суммы квадратов. 19. Другая рекуррентная формула. 20. Другой Наиболее Необычайный Закон Чисел, Относяшийсч к Суммам их Делителей. 24. Как Эйлер упустил открытие. 25. Обобщение теоремы Эйлера о о(п).]
Глава VII. Математическая индукция 128
1. Индуктивная фаза 128
2. Фаза доказательства 130
3. Исследование переходов 130
4. Техника математической индукции 132
Примеры и примечания к главе VII 137
[12. Доказать больше иногда легче. 14 Уравновесьте вашу теорему! 15. Перспектива. 17. Равны ли любые п чисел?]
Глава VIII. Максимумы и минимумы 141
1. Схемы 141
2. Пример 142
3. Схема касательной линии уровня 144
4. Примеры 146
5. Схема частного изменения 148
6. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и ее первые следствия 150
Примеры и примечания к главе VIII 152
Первая часть 152
[1. Наименьшие и наибольшие расстояния в плоской геометрии. 2. Наименьшие и наибольшие расстояния в пространственной геометрии. 3. Линии уровня на плоскости. 4. Поверхности уровня в пространстве. 11. Принцип пересекающей линии уровня. 22. Принцип частного изменения. 23. Существование экстремума. 24. Видоизменение схемы частного изменения: бесконечный процесс. 25. Другое видоизменение схемы частного изменения: конечный процесс. 26. Графическое сравнение.]
Вторая часть 157
[33. Многоугольники и многогранники. Площадь и периметр. Объем и поверхность. 34. Прямая призма с квадратным основанием. 35. Прямой цилиндр. 36. Произвольная прямая призма. 37. Прямая двойная пирамида с квадратным основанием. 38. Прямой двойной конус. 39. Произвольная прямая двойная пирамида. 43. Приложение геометрии к алгебре. 45. Приложение алгебры к геометрии. 51. Прямая пирамида с квадратным основанием. 52. Прямой конус. 53. Произвольная прямая пирамида. 55. Ящик без крышки. 56. Корыто. 57. Обломок. 62. Почтовая задача. 63. Задача Кеплера.]
Глава IX. Физическая математика 161
1. Оптическая интерпретация 161
2. Механическая интерпретация 165
3. Новая интерпретация 167
4. Открытие брахистохроны Иоганном Бернулли 171
5. Открытие Архимедом интегрального исчисления 173
Примеры и примечания к главе IX 177
[3. Треугольник с минимальным периметром, вписанный в данный треугольник. 9. Транспортный центр четырех точек в простран¬стве. 10. Транспортный центр четырех точек на плоскости. 11 Транспортная сеть для четырех точек. 12. Разверните и выпря¬мите. 13. Бильярд. 14. Геофизическое исследование. 23. Кратчай¬шие линии на многогранной поверхности. 24. Кратчайшие {геодези¬ческие) линии на кривой поверхности. 26. Построение посредством сгибания бумаги. 27. Бросается кость. 28. Всемирный потоп. 29. Не слишком глубоко. 30. Полезный крайний случай. 32. Вариационное исчисление. 33. От равновесия поперечных сечений к равновесию тел. 38. Ретроспективный взгляд на Метод Архимеда.]
Глава X. Изопериметрическая задача 185
1. Индуктивные доводы Декарта 185
2. Скрытые доводы 186
3. Физические доводы 187
4. Индуктивные доводы лорда Рэлея 187
5. Выведение следствий 188
6. Подтверждение следствий 191
7. Очень близко 195
8. Три формы изопериметрической теоремы 196
9. Приложения и вопросы 198
Примеры и примечания к главе X 199
Первая часть 199
[1. Взгляд назад. 2. Могли бы вы вывести какую-либо часть этого результата иначе? 3. Заново с большими подробностями. 7. Можете ли вы воспользоваться этим методом для решения какой-нибудь другой задачи? 8. Более сильная форма изопериметрической теоремы.]
Вторая часть 200
L16. Палка и веревка. 21. Две палки и две веревки, 25. Задача Ди-доны. в пространственной геометрии. 27. Биссекторы плоской области. 34. Биссекторы замкнутой поверхности. 40. Фигура многих совершенств. 41. Аналогичный случай. 42. Правильные многогранники. 43. Индуктивные доводы.]
Глава XI. Другие виды правдоподобных доводов 206
1. Предположения и предположения 206
2. Суждение по родственному случаю 206
3. Суждение по общему случаю 208
4. Более простое предположение предпочтительнее 210
5. Фон 212
6. Неисчерпаем 215
7. Обычные эвристические допущения 216
Примеры и примечания к главе XI 217
[16. Общий случай. 19. Никакая идея не является действительно плохой. 20. Несколько обычных эвристических допущений. 21. Воз¬награжденный оптимизм. 23. Числовые выкладки и инженер.]
Заключительное замечание к первому тому 224

Том II
СХЕМЫ ПРАВДОПОДОБНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
Предисловие ко II тому 227
Глава XII. Несколько бросающихся в глаза схем 229
1. Подтверждение следствия 229
2. Последовательное подтверждение нескольких следствий . 231
3. Подтверждение невероятного следствия 233
4. Умозаключение по аналогии 236
5. Углубление аналогии 237
6. Затушеванное умозаключение по аналогии 239
Примеры и примечания к главе XII 240
[14. Индуктивное умозаключение по бесплодным усилиям.]
Глава XIII. Дальнейшие схемы и первые связи между схемами .... 244
1. Исследование следствия 244
2. Исследование возможного основания 245
3. Исследование противоречащего предположения 246
4. Логические термины 246
5. Логические связи между схемами правдоподобных умозаключений 250
6. Затушеванное умозаключение 251
7. Таблица 253
8. Комбинация простых схем 253
9. Об умозаключении по аналогии 254
10. Уточненное умозаключение 255
11. О последовательных подтверждениях 258
12. О соперничающих предположениях 258
13. О судебном доказательстве 260
Примеры и примечания к главе XIII 266
Первая часть 266
[9. Об индуктивном исследовании в математике и в физических науках. 10. Пробные общие формулировки.]
Вторая часть 271
[11. Более личное, более сложное. 12. Существует прямая, соединяющая две данные точки. 13. Существует прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Проведение параллели. 14. Наиболее очевидный случай может оказаться единственным возможным случаем. 15. Установление моды. Сила слов. 16. Это слишком невероятно, чтобы быть всего лишь совпадением. 17. Совершенствование аналогии. 18. Новое предположение. 19. Еще одно новое предположение. 20. Что типично?]
Глава XIV. Случай. Неизменное соперничающее предположение .... 281
1. Случайные массовые явления 281
2. Понятие вероятности 283
3. Применение мешка и шаров 287
4. Исчисление вероятностей. Статистические гипотезы . . . 290
5. Непосредственное предсказание частот 292
6. Объяснение явлений 298
7. Оценка статистических гипотез 301
8. Выбор между статистическими гипотезами 306
9. Оценка нестатистических предположений 313
10. Оценка математических предположений 326
Примеры и примечания к главе XIV 329
Первая часть 329
Вторая часть 330
[19. О понятии вероятности. 20. Как не следует истолковывать понятие вероятности, основанное на частоте. 24. Вероятность и решение задач. 25. Правильный и неправильный. 26. Фундаментальные правила исчисления вероятностей. 27. Независимость. 30. Перестановки и вероятность. 31. Сочетания и вероятность. 32. Выбор соперничающего статистического предположения. Пример. 33. Выбор соперничающего статистического предположения. Общие замечания,]
Глава XV. Исчисление вероятностей и логика правдоподобных рассуждений 338
1. Правила правдоподобных рассуждений 338
2. Один аспект доказательного рассуждения 341
3. Соответствующий аспект правдоподобного рассуждения 342
4. Один аспект исчисления вероятностей. Трудности . . . 346
5. Один аспект исчисления вероятностей. Попытка .... 348
6. Исследование следствия 349
7. Исследование возможного основания 353
8. Исследование противоречащего предположения 354
9. Исследование одного за другим нескольких следствий . 355
10. О косвенных уликах 358
Примеры и примечания к главе XV 359
[4. Вероятность и правдоподобность. 5. Правдоподобие и правдоподобность. 6. Попытка Лапласа связать индукцию с вероятностью. 7. Почему не количественно? 8. Бесконечно малые правдоподобности? 9. Правила допустимости.]
Глава XVI. Правдоподобные рассуждения в изобретении и обучении . . 371
1. Предмет настоящей главы 371
2. Рассказ о маленьком открытии 371
3. Процесс решения 374
4. Deus ex machina 375
5. Эвристическое оправдание 377
6. Рассказ о другом открытии 378
7. Несколько типичных указаний 382
8. Индукция в изобретении 383
9. Несколько слов преподавателю 388
Примеры и примечания к главе XVI 391
[1. Преподавателю: некоторые типы задан. 7. Qui nimium probat, nihil probat. 8. Близость и правдоподобность. 9. Вычисления и правдоподобные рассуждения. 13. Формальное доказательство и правдоподобные рассуждения.]
Решения 398
Глава I (398). Глава II (399). Глава III (405). Глава IV (410). Глава V (414). Глава VI (417). Глава VII (420). Глава VIII (423). Глава IX (434). Глава X (440). Глава XI (446). Глава XII (450). Глава XIII (452). Глава XIV (455). Глава XV (460). Глава XVI (461).
Библиография 463