Правообладателям

Математика в экономике. Малыхин В.И.

М.: 2000.— 356 с.

Экономисту необходимо знать математику. Математический аппарат — важный инструмент экономического анализа, организации и управления. Пособие составлено в виде лекций, объединенных по темам. В конце каждой лекции приведены решения типовых задач, а также задания для самостоятельной работы. Предназначено для студентов экономических факультетов вузов.

Формат: pdf

Размер: 6 Мб

Смотреть, скачать: docs.google.com ; rusfolder.com

Содержание
Введение 3
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ^, , 6
1.1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ Б
1. Начальные сведения о векторах , 6
2. Действия с векторами 7
3. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов
4. Пространство товаров, вектор цен
Задачи 11
1.3. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 12
1. Начальные сведения о матрицах 12
2. Действия с матрицами 13
3. Технологическая матрица и задача оптимального планирования 15
4. Матрицы и линейные преобразования , 17
Задачи 18
1.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 20
1, Начальные сведения о СЛАУ , 20
2, Векторная и матрично-векторная запись СЛАУ , 21
3, Определитель матрицы 23
4, Решение СЛАУ с помощью определителей , 54
Б. Обратная матрица 25
Задачи 2S
Тема 2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 28
2.1. ПРЯМЫЕ ПИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ ПИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ 29
1, Прямая линия на плоскости, различные аидыуравнений прямой.,,, 29
2. Линайные функции спроса и предложения,
определение равновесной цены , , , 31
3. Бюджетное множество 31
4, Плоскости и прямые линии в пространстве 33
Задачи - 34
3.2. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ I. 35
1, Ввжнайшиа кривые 2-го порядка 36
2, Оптические и геометрические свойства кривых 2-го порядка 38
3. Полярная система координат 39
4. Параметрические уравнения линии > 41
Звдачи , >1 4*
Тема 3. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 43
3.1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 43
1. Задача оптимального планировании
2. Некоторые общие сведения о линейном программировании 44
3. Решение задач ЛП с двумя переменными графическим методом !., 46
4. Задачи целочисленного ЛП 48
Эвдачи 48
3.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 1
1. Звдэчэ торге 50
2. Симметричная пара двойственных задач 51
3. Теоремы двойств внности ., , , 52
4. Экономическое содержание теории двойственности , 54
Задачи ; 56
3.3, МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА И НЕЙМАНА 58
1. Модель Леонтьева 58
2. Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева ВО
3. Модель Неймана , , 62
Задачи _ 63
Тема 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 64
4.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ „ 64
1. Элементы теории множеств 64
2. Последовательности , 65
3. Предел поспедоватепьности и сумма ряда 68
4. Паутинообразная модель рынка : 68
5. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева , . 69
Задачи 70
4.S. .ФУНКЦИИ 71
1. Общае понятие функции 71
2. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике 72
3. Элементарные функции 73
4. Свойства функций одного паремвнного , 75
Задачи 75
4.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ , , 78
1. Определение предела функции 78
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 79
3. Основные свойства пределов
4. Первый и второй замечательные пределы ;
4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Z 82
1. Определение непрерывности функции. Точки разрыве 83
2. Свойства непрерывных функций °z
3. Экономическая интерпретация непрерывности
Задачи ««-»»». °°
Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ . ВЕЛИЧИНЫ В ЭКОНОМИКЕ 8'
5.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ' 87
1. Определение производной функции, ее физический
и геометрический смысл So
2. Применение производной в экономике
3. Правила дифференцироввния (нахождения производных функций) ="
Задачи »• „о
5.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
1. Теоремы D дифференцируемых функциях
2. Дифференциал функции д6
3. Формула и многочлан Тейлора д^
Эедачи '
Тема 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 97
6.1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ 97
1. Экстремум функции и его нахождение Э7
2. Формула Уилсона да
3. Теория одноресурсной фирмы gg
4. Прибыль фирмы и обьвм поступления налогов государству
при двнной налоговой стввкв „,„ Ю2
5. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 103
Задачи ЮЗ
В.а. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 104 '
1. Возрастание и убывание функций 104
2, Выпуклость и вогнутость графика функции, Точки перегиба 104
3. План исследования функции и построения ве графика 105
4, Нахождение нулей функции, приближвнное решвние уравнвний 106
Эадвчи 107
ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ
Тема 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109
7.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 109
1 Определение функции многих переменных , 109
2. Способы звдвния функции многих пераменных 110
3, Некоторые многомерные функции, используемые в экономике 112
Задачи 113
7.2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 114
1. Иврархия пространств 114
2. Евклидово пространство 115
3. Топология евклидова пространства 117
4. Свойства функции, заданных в евклидовом пространстве 119
Эедачи 121
Тема 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 122
8.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 122
1. Частные проиэводныв 122
2. Частные производные 2-го и высших порядков 123
3. Экономический смысл чвстных производных 124
Задачи • 125
8.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 127
1, Диффврвнцирувмость функций нвскопьких первменных 127
£. Геометрический смысп1-го дифференциала '. 128
3. Производная по направлению, градивнт функции 129
4. Линеэриэвция сложных зависимаствй - 130
5. Дифференциальные свойства функции полвзнасти 131
Задвчи ' 132
Тема 9. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 133
9,1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 133
1. Экстремум функции и его нахождение 133
2. Достаточнов условив экстремума " 34
3. Условный экстремум, метод множителей Лагрвнжа 136
4. Задача оптимизации выбора потравителя " 36
5. Характеристика точки спроса ^38
Задачи 1da
9.2. «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» ЭКОНОМИКИ 140
1. «Золотое правило» экономики для одноресурсной фирмы. , 140
2. «Золотое правило» экономики для многоресурсной фирмы 143
Задачи (45
3.3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАМИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНЬМЙКЕ"- 146
1. Понятие многокритериальной оптимизационной задачи 146
2. Оптимальность по Парето 147
3. Модель обмена, цены , , 148
4. Ящик Эджворта 149
Задачи 151
Тема 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 152
10.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 15Э
1. Дифференцирование и интегрирование—взаимно обратные операции. , 153
2. Геометрическое понимание интеграла 155
3. Таблица основных интегралов., 156
4. Простейшие правила интегрирования 157 ч
5. Интегрирование путем замены переменной , 157
6. Интегрирование по частям „ 158
Задачи 158
10.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА , 159
1. Площадь криволинейной трапеции 159
2. Определение определенного интеграла 160
3. Свойства определенного интеграла 161
4. Теорема о среднем значении 163
5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом > 163
6. Основная формула интегрального исчисления , 185
7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 167
Задачи 166
10.3.ПРИЛ0ЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА -.. 169
1. Длина кривой, площадь фигуру и обьем тела 169
2. Механические и физические приложения 172
3. Экономические и другие иллюстрации к понятию интеграла 172
Задачи 11?6
Тема 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
11.1. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 178
1. Определение интегралов с бесконечными пределами 17°
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций ,„ ;. 180
3. Двойные интегралы, определение * °°
4. Сведение двойного интеграла к повторному 181
5. Тройные интегралы
Задачи.
Тема 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1/1 РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1Э5
12. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ^°5
1, Определение дифференциального уравнения *... ' °°
2, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям т°о.
3, Уравнения 1 -го порядка, разрешенные относительно производной i о а
4, Уравнения с разделяющимися переманными ™
5, Линейные уравнения 1 -го порядка, уравнение Бврнулли, ' |^
Задачи ,.
Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
13.1. МОДЕЛИ ЭЭАНСА И СОПОУ 1 да
1. Модель Званое , , , 92
2. Параметры модали Солоу , , ' 194
3. Стационарные траектории в модели Солоу 19В
4. «Золотое правило» экономического роста.. .'. .', , 197
Задачи , , '"„ 198
13.В. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ „ „ , 19В
1. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений , 199
2. Теорема существования и единственности решения 199
3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения 20Q
4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
и системах дифференциальных уравнений , 901
Задача „ , „ 903
Тема 14. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 204
14.1, ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ , 204
1. Сумма ряда , , 204
2. Свойства и признаки сходящихся рядов 20В
3. Признаки сходимости энакопсотсянньи'рядов. 20В
4. Знакопеременные ряды , , , 210
5. Стапенныа ряды , 211
Задачи 3.12
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
Тема 15, СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 215
15,1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 215
1, Закономерности детерминистические и стохастические 215
2, Частота и вероятность 217
3, Классическая формула подсчета вероятности , 21В
4, Элементы комбинаторики 220
Задачи 1 • 2а0
15,3, АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЕРОЯТНОСТИ 222
1. Операции над событиями 222
2. Аксиоматический подход к вероятности , 223
3. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий 225
Задачи %2£
15.3.0СН0ВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ 229
1, Формула полной вероятности , 229
2, Формула Байеса < 229
3, Формула Бернулпи > =™
4, Кредитный риск и способы его уменьшения 2d т
Задачи 2оо
Тема 16. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИК ХАРАКТЕРИСТИКИ 234
16.1, ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 234
1, Дискретные случайные величины 234
2, Математическое ожидание и его свойства «о
3, Дисперсия и ее свойстве J^jL
4, Канонические законы распределения д.се ,. ««
Задачи i
1В.2.ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 242
1. Матрицы последствий и рисков, 242
S. Принятие решений в условиях полной неопределенности 243
3. Принятие решений в усповиях частичной неопределенности 244
4. Риск как среднее квадратическое отклонение .„ 245
5. Байесовский подход к принятию решений , 246
Задачи ,. , , ,„., , ' 347
16.3.НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ^АРдктЁрЙСТИКЙ"Z 248
1. Определение непрерывной случайной величины „,„ 248
Э. Свойства функции распределения „ 249
3, Непрерывные случайные величины и их свойства 250
4. Математическое ожидание и дисперсия н.с.в 252
5, Равномерное распределение 253
6. Показательное распределение 254
Задачи 255
16.4. НАЧАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 256
1. Цепь начальной статистической обработки информации 256
й. Генеральная совокупность и выборки.из нее. , 257
3.Характеристики выборки „ 259
Задачи „ 263
Тема 17. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 264
17,1.НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН, ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ 264
1. Нормальный закон и параметры его задания £64
а. Закон больших чисел , v 267
3. Центральная предельная теорема и ев следствия 269
Задачи , , 270
17.2. ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ
ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ , . 271
1, Усреднение влияния независимых факторов 271
Э. Понятие о страховании 272
3. Обеспечение релраэентатианости выборки <«.. 275
Задзчи 276
Тема 18. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 277
18.1. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН 277
1, Многомерные случайные величины 2/7
2, Корреляция и независимость св. 2?~
3, Функции случайных величин 2°°
Задачи - s°f
18.2.0ЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ 2ВЗ
1. Основные задачи математической статистики
2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности или с.в 2tw
3. Метод максимального правдоподобия
4. Интервальные оценки
Задачи ,
18.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 28И
1,Типы зависимостей между случайными величинами £ив
2. Корреляционное отношение
3, Линейная однофакторнея регрессия
Задачи...
Тема 19. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИНАНСОВОГО РЫНКА 294
13.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА
И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИХ 294
1. Соглашения о финансовом рынке 294
2. Надежность, рискованность операций и инструментов 295
3. Статистические характеристики ценных бумаг 298
Задачи 299
19.2. ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ 300
1. Сущность портфельного подхода 300
2. Влияние корреляции разных ценных бумаг 301
3. Оптима льн ый портфель 303
4. Оптимальный портфель при наличии безрисковых бумаг 304
Задачи 306
19.3.МЕТ0Д ВЕДУЩИХ ФАКТОРОВ ФИНАНСОВОГО РЫНКА 307
1. Влияние ведущего фактора на составляющие финансового рынка 307
2. Эффективность рынка как ведущий фактор 309
3. Оптимальный портфель на идеальном конкурентном рынке 309
Приложения:
Приложение 1. Контрольная работа № 1 (к темам 1—3) 312
Приложение 2. Контрольная работа Na 2 (к темам 4-6) 316
Приложение 3, Контрольная работа № 3 (к темам 7—9) 322
Приложение 4. Контрольная работа Na 4 (к темам 10-14) 327
Приложение 5. Контрольная работа Na 5 (к тема м 15,16) 332
Приложение 6. Контрольная рвбота Na 6 [к разделу 16.4, к темам 17-19) 338
Перечень сокращений 347
Литература 34В

КАКУЮ МАТЕМАТИКУ И КАК ДОЛЖЕН ИЗУЧАТЬ БУДУЩИЙ ЭКОНОМИСТ (МЕНЕДЖЕР)
Существуют два взгляда на математику и ее роль среди других наук в процессе обучения. Первый считает, что математика — это нечто самостоятельное; самоценное. Второй это признает также, но в основном считает математику инструментом, владение которым полезно и необходимо. Несомненно, математика имеет определенное мировоззренческое значение, но для специалистов по экономике, управлению — «менеджеров» математика является в большей мере инструментом анализа, организации, управления. Исходя из этого и написана данная книга.
Книга называется «Математика В экономике» и состоит из трех частей, соответствующих трем семестрам, в которых предполагается изучение математики и ее применения в экономике и финансах. Первая часть называется «Основы линейной алгебры и математического анализа*. Вторая часть называется «Математический анализ с экономическими приложениями» и третья — «Теория вероятностей и статистические методы в экономике».
Книга написана иначе, чем классические курсы высшей математики для вузов. Первое отличие в том, что все изучаемые математические, понятия иллюстрируются приложениями из экономики, финансов, управления. Эти приложения не разрозненны. Фактически эти приложения охватывают важнейшие понятия, разделы «Математической экономики», «Финансовой математики» (например, теория потребительского спроса, теория оптимального портфеля, теория принятия решений группой лиц и т.п.). Часто эти приложения выходят на первый план, т.е. показывается, что математические понятия вводятся и изучаются ради экономических. Это — вторая особенность книги. Третья особенность касается третьей части. В ней теория вероятностей и математическая статистика излагаются, в сущности, одновременно, что придает учебному материалу сжатость, концентрированное™, Изложение полной теории некоторых вопросов не предусматривается, надежда на овладение соответствующими компьютерными программами (например, нет теории симплекс-метода, однако вполне возможно освоение какого-нибудь пакета по линейному программированию на практических занятиях или самостоятельно), Многие доказательства опущены, при желании их легко найти в более продвинутых курсах вузовской математики. Предусмотрены необходимые контрольные мероприятия (что особенно важно для заочного и вечернего обучения).