Правообладателям

Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов. Виленкин И.В., Гробер В.М.

4-е изд., испр. - Р. н/Д.: 2008.— 414 с.

Пособие предназначено для студентов, не специализирующихся в области математики, основных вопросов линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Большое число детально разобранных задач поможет студентам усваивать важнейшие идеи и методы решения примеров, данных для самостоятельной работы. Этот же набор примеров может быть использован преподавателями вузов как задачник.

Формат: pdf

Размер: 5,2 Мб

Смотреть, скачать: docs.google.com ; rusfolder.com

СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 4
§1. Матрицы и определители 4
1.1 Первоначальные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц 4
1.2. Определители второго и более высоких порядков. Свойства определителей 8
1.3. Обратная матрица. Существование и структура обратной матрицы 12
Задачи для самостоятельной работы 14
§2. Системы линейных алгебраических уравнений 15
2.1. Метод Крамера 15
2.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений 18
2.3. Метод Гаусса 19
§3. Пространства R" 29
3.1. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов 30
3.2. Базис пространства R" 32
3.3. Скалярное произведение векторов. Норма вектора 38
3.4. Векторное произведение векторов 49
3.5. Смешанное произведение векторов 53
Задачи для самостоятельной работы 58
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 63
§1. Прямая линия в R3 63
1.1. Векторное и параметрические уравнения прямой 63
1.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Отрезок прямой. Деление отрезка в данном отношении 65
§ 2. Плоскость 69
2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору 69
2.2. Общее уравнение плоскости и его исследование 70
2.3. Угол между двумя плоскостями 72
2.4. Задачи на составление уравнения плоскости 73
§3. Прямая и плоскость 79
3.1. Взаимное расположение прямой и плоскости 79
3.2. Угол между прямой и плоскостью 81
3.3. Расстояние от точки до плоскости 84
§4. Прямая в R2 91
4.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Пучок прямых 91
4.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 93
4.3. Угол между двумя прямыми, условие параллельности и условие перпендикулярности прямых 94
4.4. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Общее уравнение прямой 95
4.5. Расстояние от точки до прямой 103
Глава 3. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 110
§1. Кривые второго порядка 110
1.1. Эллипс. Вывод уравнения и исследование формы 110
1.2. Гипербола. Вывод уравнения 114
1.3. Парабола. Вывод уравнения 117
§2. Преобразования систем координат. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду 118
2.1. Параллельный перенос координатных осей 118
2.2. Поворот координатных осей 118
2.3. Приведение к каноническому виду и построение кривых второго порядка 120
§3. Полярная система координат. Уравнения линий в полярных координатах 126
Примеры для самостоятельной работы 131
§4. Поверхности второго порядка. Метод сечений. 131
4.1. Эллипсоид 131
4.2. Параболоиды 134
4.3. Гиперболоиды 135
4.4. Цилиндры и конусы 136
4.5. Линейчатые поверхности 137
Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 139
§1. Понятие функции 139
1.1. Функция как отображение 139
1.2. График функции 139
1.3. Понятие сложной функции 141
1.4. Элементарные функции 141
1.5. Обратные функции 142
§ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 143
2.1. Понятие окрестности точки. Понятие предельной точки множества. Область, граница области 143
2.2. Бесконечно малые функции (б.м.ф.) 146
2.3. Основные теоремы о бесконечно малых функциях 148
2.4. Бесконечно большие функции (б.б.ф.) 150
§3. Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах 153
Примеры для самостоятельной работы 161
§4. Геометрическое истолкование понятия предела на бесконечности для функций одной переменной. Асимптоты 163
§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции 166
5.1. Первый замечательный предел 166
5.2. Второй замечательный предел 167
5.3. Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б.м.ф 170
5.4. Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные б.б. функции 172
Примеры для самостоятельной работы 175
§6. Непрерывные функции. Основные теоремы о непрерывных функциях 178
6.1. Понятие непрерывности функции 178
6.2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций 179
6.3. Дальнейшие свойства непрерывных функций 180
6.4. Точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот 183
Примеры для самостоятельной работы 186
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 187
§1. Понятие производной 187
§2. Общие правила дифференцирования 191
§3. Производные элементарных функций. Техника дифференцирования 194
3.1. Производные функций tgo: и ctgo: 194
3.2. Производная показательной функции 195
3.3. Производная степенной функции 195
3.4. Производные обратных тригонометрических функций 196
3.5. Примеры нахождения производных 198
Примеры для самостоятельной работы 202
3.6. Производная показательно-степенной функции 204
3.7 Дифференцирование обратной функции 205
3.8. Неявные функции одной переменной и их дифференцирование 207
§4. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой 211
Задачи для самостоятельной работы 213
§ 5. Линеаризация и дифференциал 214
Задачи для самостоятельной работы 219
Глава 6. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 220
§1. Понятие экстремума. Теоремы Ферма и Ролля 220
§2. Теоремы Коши и Лагранжа 225
§3. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 228
Примеры для самостоятельной работы 237
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 240
§1. Монотонность и экстремумы функций 240
Упражнения 248
§2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 248
Упражнения 255
§3. Общая схема исследования функций и построение графиков 256
Задачи для самостоятельной работы 264
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Инженерные задачи 266
Задачи для самостоятельной работы 275
Глава 8. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 278
§1. Понятие вектор-функции 278
§2. Предел вектор-функции. Непрерывность 282
§3. Дифференцирование вектор-функций 283
§4. Геометрический смысл производной вектор-функции. Механический смысл 286
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 295
§1. Производная по направлению. Частные производные 295
§2. уравнение касательной плоскости к поверхности. Полный дифференциал функции 302
§ 3. Связь между частными производными и производной по направлению 308
§4. Градиент. Связь производной по направлению с градиентом. Линии уровня 309
Задачи для самостоятельной работы 317
§5. Производные высших порядков 318
§6. Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции 319
Задачи для самостоятельной работы 329
Глава 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 331
§ 1. Первое знакомство с неопределенным интегралом 331
Таблица неопределенных интегралов 335
Примеры для самостоятельной работы 339
§2. Метод замены переменной (метод подстановки) 341
§3. Интегрирование по частям 369
§4. Интегрирование рациональных дробей 383
4.1. Подход к интегрированию правильных рациональных дробей 384
4.2. Представление правильных рациональных дробей 385
4.3. Методы нахождения неопределенных коэффициентов 387
4.4. Интегрирование неправильных рациональных дробей 391
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций 394
5.1. Рационализация подстановкой 394
5.2. Интегралы вида Jsin"!jc • cos" xdx 396
5.3. Интегралы вида J = lR^gx)dx, J R(ptgx)dx, I R[sin2 x, cos2 xjix, где R - рациональная функция 398
5.4. Интегралы вида Ji?(sina:, cosx)dx.
Универсальная подстановка 400
Литература 409

ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие призвано помочь студентам освоить фундаментальные факты высшей математики. Основная цель, которую преследовали авторы — научить студентов решать задачи. В связи с этим многие примеры (около 300) излагаются с подробными объяснениями, после чего читатель получает возможность проверить понимание изучаемого материала, решая самостоятельно задачи (их около 800), приведенные в конце каждой главы или параграфа. Эти задания, как правило, расположены в порядке усложнения, по уровням. Здесь же даются ответы.
Пособие не претендует на полноту. Его теоретическая часть представляет собой сравнительно небольшой курс лекций. Авторы пытаются акцентировать внимание читателя на самых основных понятиях и их приложениях к решению задач.
Предлагаемый первый том пособия должен помочь студентам технических и экономических специальностей усвоить материал первого курса обучения. Кроме того, студенты, углубленно изучающие математику, могут использовать книгу в качестве «стартового материала».
Пособие составлено авторами на основании опыта их многолетнего преподавания в РГСУ, Ростовском институте сервиса, Ростовском филиале РТА.
Большое влияние на авторов оказал профессор Наум Самойлович Ландкоф, руководивший в течение многих лет кафедрой высшей математики РИСИ (ныне РГСУ). Авторы выражают профессору свою искреннюю признательность и глубокую благодарность.
Предлагаемый первый том является значительным расширением учебного пособия авторов «Пределы, производные, ряды», имеющего гриф Ассоциации строительных вузов России. Мы выражаем признательность профессорам Г.И. Белявскому, В.И. Павлову, B.C. Шевелеву и доценту Н.И. Скибе за указанные недочеты в опубликованном пособии, которые учтены авторами.
Авторы благодарят рецензентов за внимательное прочтение нашего труда и ценные советы.